三元立方和最值問題是數學高考和競賽中比較常見的問題,但是絕大都數是限定在一個凸性一致的區間,比如利用琴生不等式來解決問題[1-2],對于不限定在一個凸性一致的區間的問題甚少有文章研究.本文主要研究《數學通報》的問題2530 的一般化,解決了三元立方和在一個非凸性一致區間的最大值問題.
問題 (《數學通報》2020年2 月號問題2530[3])已知a,b,c ∈[ 2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3 的最大值.
供題人張云華構造了一個函數(x 2)(x+1)2=x3 3x 2,作者利用這個函數恒不大于0,得到a3+b3+c3 ≤3(a+b+c)+6=6,最終指出a,b,c 中有1 個2 和2 個 1時取得最大值[3].我們注意到這種方法的局限性強,它只適合于a+b+c 的和為某些定值的情形,當我們將興趣轉到a+b+c 的和為變化的值時,這種方法將無法解決問題.下面我們用磨光變換法將原題推廣到a+b+c=p( 6
引理1 對于任意a ≤ x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤b,x1 + x4= x2 + x3,若f(x)在[a,b]為下凸函數,均有f(x1)+ f(x4)≥f(x2)+ f(x3),等號成立當且僅當x1=x2=x3=x4.
本文研究了三元立方和在一個非凸性一致區間的最大值,研究過程可作為更多非凸性一致區間最值問題提供參考,結論也可改編成競賽題.
